Lecture 7：金半接触

Work Function以及相关概念图示

$\mathbf{E_0}$ : Vacuum energy level | 真空能级 / 真空能量参考

中文：( $E_0$ ) 表示材料表面外“真空中自由电子”的能量基准。电子若达到该能级，可视为脱离材料束缚。
English: ( $E_0$ ) is the energy reference for a free electron just outside the surface in vacuum . Reaching ( $E_0$ ) means the electron is effectively emitted from the material.

$\chi$ : Electron affinity | 电子亲和能

中文：电子亲和能 ( $\chi$ $χ$ ) 是从导带底 ( $E_c$ $E_{c}$ ) 到真空能级 ( $E_0$ $E_{0}$ ) 的能量差： $\chi = E_0 - E_c$
- 硅的典型值：( $\chi(\text{Si}) \approx 4.05,\text{eV}$ )。锗的典型值：( $\chi(\text{Ge}) \approx 4.00,\text{eV}$ )
English: Electron affinity ( $\chi$ ) is the energy difference between the vacuum level and the conduction band minimum: $\chi = E_0 - E_c$

High/Low Work Function的界定、常见金属的Work Function数值

两种M/S Contacts

整流型接触：肖特基接触 / 肖特基二极管（Schottky contact/diode）

Metal - N-type Si contact

对 n 型半导体的肖特基接触来说， $\Phi_{Bn}$ （electron Schottky barrier height）通常定义为：在热平衡时，金属/半导体界面处，半导体导带底 $E_c$ 到 共同费米能级 $E_F$ 的能量差（和MOS电容里面的 $\phi_B$ 完全不一样，这里B是barrier的意思，单位也是能量。

$Φ_{Bn}$ ≡ $E_{c(界面)}$ − $E_{F(界面)}$

这表示：电子想从金属（在 $E_F$ 附近）“爬”到半导体的导带里，需要跨过多高的能量“山”

从而可以得出：

$Φ_{Bn}$ = $Φ_M$ − $χ$

$\Phi_M$ 告诉你：金属的 $E_F$ 距离 $E_0$ 有多远
$\chi$ 告诉你：半导体导带底 $E_c$ 距离 $E_0$ 有多远
界面处 $E_0$ 为同一高度的参考点。两者一减，就是 $E_c$ 和 $E_F$ 之间差多少——也就是势垒高度。

Metal - P-type Si contact

对于空穴而言的肖特基势垒高度

\Phi_{Bp}=\chi+E_G-\Phi_M

$\Phi_{Bp}$ ：对空穴（holes）的势垒高度。常用能带图上用在界面处，从共同费米能级 $E_F$ 到价带顶 $E_V$ 的能量差表示：

\Phi_{Bp}\equiv E_F - E_{V(界面处)}

考虑内建电压，可得：

qV_{bi}=\Phi_{Bp}-(E_F-E_V)_{FB}

$V_{bi}$ ：内建电压（built-in voltage），也就是半导体从“远离界面处（平带/本体）”到“界面处”产生的静电势差，对应能带的弯曲量。
$(E_F-E_V)_{FB}$ ：平带（Flat-Band）/本体区域里，费米能级到价带顶的能量差。

远离界面处没有弯曲的那一段

非理想效应：Contacts-Fermi level pinning Effect | 费米能级钉扎

提醒

费米能级钉扎 | Fermi level pinning

A high density of allowed energy states in the band gap at the MS interface pins $E_F$ to the range 0.4 eV to 0.9 eV below $E_c$ (“Fermi level pinning”). 在金属-半导体界面处的禁带中，存在高密度的允许能态（界面态），这使得费米能级 $E_F$ 被钉扎在导带底 $E_c$ 以下 0.4 eV 到 0.9 eV 的范围内（即“费米能级钉扎” 现象）。

费米钉扎效应对应的能带图如下图b所示：

Schottky contact 整流接触

Electrical Characteristics ｜电学特性

M/S Junction的电荷分布

电荷储存在接触面的两边

考虑泊松方程（实际就是静电场的高斯定理），其中 $ρ$ 为净电荷密度

Depletion Layer Approximation ｜耗尽区近似

The depletion-layer approximation assumes that near a junction the mobile carriers are almost completely swept out, leaving a region of fixed ionized dopants (roughly constant charge density), while the material outside this region remains electrically neutral.

Depletion Layer Approximation（耗尽层近似）：在结/接触附近假设某一宽度内移动载流子几乎被“清空”、只剩离化杂质形成近似恒定的空间电荷密度，而该区域外材料电中性、空间电荷近似为零。

上面两个联立可以解出（注意一下右边三幅图）：

实际上这里就是由于 $\rho=q(N_D - N_A)$ 是恒定的，那么从这个方程 $\frac{d \mathcal{E}}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon_s}$ 就能计算出电场电场再积分就能算出电势，于是就有了下图右边三幅图
同时图里应该是只考虑了单种掺杂，即只掺了Nd

Summary: $\phi_B\,\, |\,\,V_{bi} \,\,| W$ for n-type and p-type

对于耗尽区宽度来说没有本质区别都是用对应侧的掺杂浓度

Current Flow in Schottky Junction N-type

Schottky结分析

Schottky 结电流由多数载流子主导（majority-carrier flow across the MS junction）

热平衡状态（Thermal Equilibrium）： 在此种状态下， $E - E_f = q\phi_B = qV_{bi}$ ,这就定义了我们的内建电场Built-in Electric Field，同时也可以得到具体表达式：

借助 $n= N_d = N_c e^{-\frac{E_C-E_F}{kT}}$ 可以计算 $E_C - E_F$ , 可得

qV_{bi} = q\phi_{Bn} - (E_C - E_F) = q(\Phi_M-\chi) - \frac{kT}{q}ln\bigg( \frac{N_c}{N_d} \bigg)

正向偏置（Forward Bias）
- 正偏电子需要跨越的势垒为： $V_{bi} - V_A$ , 势垒降低，电子更容易跨越界面
- 主导过程：电子从半导体 → 金属的扩散/发射（diffusion from semiconductor into metal dominates）
- 结果：电流明显增大
反向偏置（Reverse Bias）
- 反偏电子需要跨越的势垒为 $V_{bi} + V_A$ ，势垒升高/耗尽区加宽
- 主导过程：电子从金属 → 半导体的扩散/发射（diffusion from metal into semiconductor dominates）
- 结果：电流较小（接近饱和的反向电流）

对比
- 正向：S → M 的电子流占主导
- 反向：M → S 的电子流占主导
平衡状态 $V_A= 0$ $V_{A} = 0$
- 半导体耗尽区上的电压降 = 内建电压 $V_{bi}$
加外加栅极电压 $V_A \neq 0$ $V_{A} \neq = 0$
- 半导体耗尽区上的电压降 = ( $V_{bi}$ - $V_A$ )

有外加反向电压的W计算公式

热电子发射理论

半导体里的电子有热运动，只要它在垂直于界面的方向上速度够大，就能够越过金属/半导体势垒进入金属，从而形成电流。最后能够推导出电流公式：

肖特基结小信号电容

肖特基结中储存的电荷会随外加电压的变化而变化，因此外加交流电时候，会有一些位移电流流过。

我们把W展开带入上面的电容公式，会有：

知道 $V_{bi}$ 和 $N_D$ 可以知道 $\phi_B$ ，再知道一个接触面积A可以知道电容。

应用

Schottky 二极管（热发射主导）的形式：

I = I_0\left(e^{qV/kT}-1\right)

以及反向饱和电流（尺度因子）：

I_0 = AKT^2 e^{-q\Phi_B/kT}

$\Phi_B$ 是 Schottky 势垒高度
$A$ 是面积相关项（或含 Richardson 常数的等效系数）
关键点: $I_0$ 对 $\Phi_B$ 指数敏感， $\Phi_B$ 越小， $I_0$ 越大。

图里虚线/点线是 Schottky diode，实线是 PN junction diode。可以看到：

在同样电流下，Schottky 的曲线更靠左 → 需要的 $V$ 更小，也就是 正向压降更小（forward drop 更低)原因就是上面说的：Schottky 的 $I_0$ 通常更大，所以要达到同样的 $I$ ，所需的 $V$ 更小。

因此 Schottky 二极管低压、大电流整流首选

肖特基结和PN结的对比

不同之处｜ The Difference

主要的不同之处在于：

在M/S Junction中，对电流起主导作用的是多数载流子
在PN Junction中，对电流起主导作用的是少数载流子

其他器件表现上的不同

开关速度与反向恢复（Switching / Reverse recovery）
- M/S（肖特基）：多数载流子器件，基本不存储少数载流子电荷 → 开关更快、几乎没有反向恢复时间（reverse recovery 很小）。
- PN 结：正向导通时会有少数载流子注入并在两侧“存储”（stored charge） → 关断时要先清掉存储电荷 → 反向恢复明显、高速下损耗更大。
正向压降与导通损耗（Forward drop / Conduction loss）
- 肖特基：势垒导通，通常正向压降低（常见 0.2–0.4 V 量级，取决于材料与电流） → 低压大电流场景导通损耗更小。
- PN 结：需要少数载流子注入，典型硅二极管 约 0.6–0.8 V → 在低压系统里损耗更明显。
反向漏电与温度敏感性（Reverse leakage / Temperature dependence）
- 肖特基：反向电流主要来自热发射等机制，通常反向漏电更大，且随温度上升更快 → 高温下漏电与热稳定性更需要关注。
- PN 结：反向漏电通常更小（同等级工艺与器件下） → 高温也会上升，但一般比肖特基更“耐漏”。
耐压能力（Breakdown voltage）
- 肖特基：受界面电场与势垒限制，通常耐压较低（同体积/工艺下） → 高耐压要靠结构优化或换材料（SiC 肖特基可显著提高耐压）。
- PN 结：通过漂移区设计更容易实现高耐压（功率二极管常见）。
反向击穿电压
- PN 结：反向阻断靠“耗尽区电场”支撑，击穿点主要由半导体达到 $E_{crit}$ （雪崩/齐纳）决定；漏电多为耗尽区产生电流，通常较小，所以耐压能做到更接近理论值。
- 肖特基结：虽然雪崩也发生在半导体里，但反偏时界面强电场会让势垒降低+变薄，多数载流子通过热发射/隧穿形成较大反向电流，往往在到达雪崩条件之前就已受限（漏电、发热、边缘提前失效），所以“可用反向耐压”常比 PN 结低。

Ohmic Contacts欧姆接触

应用

MOSFET 栅极电极、MOSFET 源/漏接触、互连：通孔/塞（via/plug）都会用到欧姆接触

实际情况中，大多数 M–S 接触是整流的（rectifying）也就是说它更像一个肖特基二极管：一个方向电流大，反方向电流小。如果希望接触在两个方向都容易导电（非整流/欧姆接触）常用的方法是把半导体在接触区非常重掺杂（very heavily doped）。

重掺杂为什么有效？ 因为重掺杂会让半导体一侧的耗尽层宽度 (W) 变得非常窄（(W) 变小）。
(W) 很窄会带来什么结果？ 即使界面仍然存在势垒，高度可能没完全消失，但由于势垒“很薄”，载流子可以通过量子隧穿（tunnel）直接穿过势垒→ 于是接触电阻降低，表现为双向都更容易导通（更像欧姆接触）。

Quantum Tunneling Phenomenon ｜量子隧穿效应

电子有概率穿过势垒，那么这个概率，我们用量子力学的势阱模型可以计算得出，对于宽度为T的能垒，隧穿概率为：

P \approx \exp\left(-2T\sqrt{\frac{8\pi^2 m}{h^2}(V_H - E)}\right)

其中 $V_H$ 为势垒高度， $E$ 为当前电子的能量

应用到电子能带里面：首先等效的势垒厚度近似为 $T \approx \frac{1}{2} W_{dep} = \sqrt{\frac{\varepsilon_s\phi_{Bn}}{2qN_D}}$ , 那么带入上式，可得

P = e^{-H(\Phi_{Bn}-V_A)/\sqrt{N_D}}

对于隧穿概率而言：

隧穿概率是指数规律——势垒降低，概率显著变大；
掺杂越重→ $N_D$ 越大 → $P$ 越大；这就是“重掺杂能做成欧姆接触”的根本。
正向偏置 $V_A$ 增大 → $(\Phi_{Bn}-V_A)$ )变小 → $P$ 变大正向更容易隧穿从隧穿概率我们可以得到隧穿电流

J_{S\to M} \approx qPN_D v_{thx} = qN_D \sqrt{\frac{kT}{2\pi m_n^*}}e^{-H(\Phi_{Bn}-V_A)/\sqrt{N_D}}

重掺杂会极其显著地降低接触电阻
正向电压 $V_A$ 越大 →指数项显著增大 → 更易导通
$m_n^*$ 越大→热速度变小且 $H$ 变大 → 隧穿更难
$T$ 升高→热速度 $\propto\sqrt{T}$ 上升（这里强调隧穿主导下的温度趋势；若热发射主导则会出现更强的温度指数项）

实现欧姆接触的关键不是一定把势垒高度降到 0，而是把势垒做得“足够薄”
重掺杂 ( $N_D\uparrow$ ) → 耗尽层 ( $W\downarrow$ ) → 隧穿概率 ( $P\uparrow\uparrow$ ) → 接触电阻很小 → I–V 近线性（欧姆）

Specific contact resistivity

接触电阻的定义是单位面积的电阻，于是公式为：

R_{contact} = \frac{\rho_c}{A_{contact}}

其中 $A_{contact}$ 为接触面积

但对于实际的欧姆接触的电阻而言，欧姆接触的电阻率还受到上述提到的量子效应的影响，这样会使得：

\rho_c \propto e^{H\Phi_{Bn}/\sqrt{N_D}}

想要小的接触电阻：选小 $\mathbf{\Phi_B}$ ，并且做大 $\mathbf{N_D}$ 。