Lecture 4：漂移电流、扩散电流与产生复合

1. 漂移电流密度 (Drift Current Density)

总的漂移电流 $J_{drift}$ 是电子和空穴漂移电流的总和。

电子漂移电流 ( $J_{n,drift}$ $J_{n, d r i f t}$ ): $J_{n,drift} =-qnv_{dn}= qn\mu_n \mathcal{E}$ $v_{dn}=-\mu_{n}\mathcal{E}$ $J=(单位体积的电荷)×(平均速度)$
- 逻辑： 电子带负电，在外电场 $\mathcal{E}$ 作用下会逆着电场方向运动。但常规电流的方向定义为正电荷的流动方向，因此与电子运动方向相反，即顺着电场方向。所以 $J_{n,drift}$ 为正值。
空穴漂移电流 ( $J_{p,drift}$ ): $J_{p,drift} =qpv_{dp}= qp\mu_p \mathcal{E}$ $v_{dp}=\mu_{p}\mathcal{E}$
总漂移电流 ( $J_{drift}$ ): $J_{drift} = J_{n,drift} + J_{p,drift} = (qn\mu_n + qp\mu_p)\mathcal{E}$

2. 电导率和电阻率 (Conductivity, $\sigma$ ) (Resistivity, $\rho$ )

上面的总电流公式揭示了微观形式的欧姆定律 (Ohm's Law)： $J_{drift} = \sigma \mathcal{E}$ 。

通过对比，我们可以定义半导体的电导率（ $\sigma$ ）：

\sigma = qn\mu_n + qp\mu_p

含义： 电导率是衡量材料导电能力的物理量。它取决于材料中电子和空穴的浓度（ $n$ 和 $p$ ）以及它们的迁移率（ $\mu_n$ 和 $\mu_p$ ）。
单位 (Unit)： 1/ohm-cm (即 $\Omega^{-1}\cdot\text{cm}^{-1}$ ) 或 S/cm (西门子/厘米)。
电阻率（ $\rho$ ）是电导率（ $\sigma$ ）的倒数： $\rho = 1 / \sigma$
计算：常遇到n型或者p型，常常因为n p差距过大，只需要计算其中主导的一项，即 $\rho\approx\frac{1}{qn\mu_{n}}$ (for n-type material) $\rho\approx\frac{1}{qp\mu_{p}}$ (for p-type material)

Note: This plot does not apply for "heavily" compensated material(强补偿材料：半导体里施主 $N_D$ 和受主 $N_A$ 同时掺得很多，而且数量相近)
净掺杂（决定多数载流子浓度）： $N_{\text{net}}=|N_D-N_A|$ 小
总离子化杂质（决定散射强度）： $N_{\text{total}}=N_D+N_A$ 大于是出现“载流子少、散射多”的状态 → 迁移率 $\mu$ 下降、电阻率 $\rho$ 升高，简单的 $\rho\!\sim\!1/(qN_{\text{net}}\mu(N_{\text{net}}))$ 曲线就不再适用了，因为 $\mu$ 实际受 $N_{\text{total}}$ 控制： $\mu\approx \mu(N_D+N_A)$ 。

电阻率和温度的关系（主要是由迁移率变化所引起，见Lecture3）
顺带提一下宏观上的欧姆定律

势能，动能，电势，电场图示（只是在做基础概念铺垫）

理解动能与势能的图示，注意电子与空穴能量增加的方向不同

电子在导带的势能是 $U_e(E)=E_c$ （差一个常数不影响物理），它的动能是 $K_e = E - E_c \quad (E\ge E_c)$

所以“离 $E_c$ 越远，电子动能越大”

空穴在价带的动能是 $K_h=E_v−E(E≤Ev)$ 离 $E_v$ 越低，表示空穴动能越大

能区分图中电子和空穴移动的方向

可以理解为电子和空穴各自往自己能量低的方向移动，电子越往下能量越低，俞老师：电子是个滚下山的小球，翻转180°就是空穴在下山了

静电势(Electrostatic Potential, $V$ )与电场(Electric Field, $\mathcal{E}$ )

Variation of $E_c$ with position is called “band bending.”(能带弯曲)

Variation in $E_c ( x)$ $\rightarrow$ variation in electric potential V

载流子扩散(Carrier Diffusion)

概念

Carriers diffuse from regions of higher concentration to regions of lower concentration region, due to random thermal motion.（原文出现过的）

在半导体材料中，载流子（即电子和空穴）由于其随机热运动，会自发地从浓度高的区域向浓度低的区域移动。

公式

电子扩散电流密度 (Electron diffusion current density)

$J_{N,diff} = qD_N \frac{dn}{dx}$ （事实上是两个符号抵消了负电荷和负浓度梯度）

$D_N$ : 电子扩散常数 (Electron diffusion constant) 空穴扩散电流密度 (Hole diffusion current density)

$J_{P,diff} = -qD_P \frac{dp}{dx}$

$D_P$ : 空穴扩散常数 (Hole diffusion constant)。
电流方向 $\propto$ 空穴流动方向 $\propto -(\text{梯度方向})$ ,所以有负号。

ppt上的问题：D 的单位是什么？

扩散常数 $D$ 的单位是 $\text{cm}^2/\text{s}$ (平方厘米/秒)。

总电流（Total Current）

把drift&diffusion电流加起来。

热平衡状态下总电流为零（如有内建电场，这是扩散电流和漂移电流相互抵消的结果）

内建电场｜ Built- in Electric Field

关于内建电场，e.g.非均匀掺杂半导体

热平衡时费米能级 $E_F$ 必须是常数，所以系统会自动形成内建电场

$n(x) = N_c e^{-\frac{E_c(x) - E_F}{kT}}, \quad p(x) = N_v e^{-\frac{E_F - E_v(x)}{kT}}$ ，由玻尔兹曼近似就可以算出不同位置x的电子or空穴浓度

所以哪边 $E_c$ 更低（更靠近 $E_F$ ）哪边就更 n 型；哪边 $E_v$ 更高哪边就更 p 型

推导内建电场：

玻尔兹曼关系： $n(x) = N_c e^{-\frac{E_c(x) - E_F}{kT}}$

在热平衡 $E_F$ 为常数

对 $x$ 求导 (只剩 $E_c$ 在变) $\frac{dn}{dx} = -\frac{N_c}{kT} e^{-\frac{E_c - E_F}{kT}} \frac{dE_c}{dx} = -\frac{n}{kT} \frac{dE_c}{dx}$

把能带斜率换成电场 $E_c(x) = -q\phi(x) + \text{const} \implies \frac{dE_c}{dx} = qE$

于是 $\frac{dn}{dx} = -\frac{n}{kT} qE \iff E = -\frac{kT}{q} \frac{1}{n} \frac{dn}{dx}$

爱因斯坦关系（Einstein Relationship）

爱因斯坦关系的核心是将两种关键的载流子传输参数联系起来.

Non-degenerate semiconductor :非简并半导体，掺杂原子的浓度相对较低

Generation and Recombination（产生和复合）

Generation and recombination processes act to change the carrier concentrations in semiconductors, and therefore are the basic phenomena employed in many electronic and optoelectronic device operations. （原话）

（载流子的）产生 (Generation) 和复合 (Recombination) 过程会改变半导体中的载流子浓度，因此它们是许多电子器件和光电器件运行所依赖的基本现象

E.g.,

产生的过程

带隙跃迁 (Band-to-Band) 电子直接吸收了足够的能量，这个能量大于或等于禁带宽度 ( $E_g$ )
R-G 中心 (R-G Center / 产生-复合中心) 电子不是“一步”跳过禁带，而是借助一个位于禁带中的“缺陷能级”或“陷阱能级” ( $E_T$ $E_{T}$ ) 作为跳板
例如：
- 杂质原子 (Impurity atoms)
- 晶格缺陷 (Defects)
- 表面态 (Surface states)
碰撞电离 (Impact Ionization) 在强电场下才会发生的链式反应

复合的过程

直接复合 (Direct)
- 过程： 导带 ( $E_C$ ) 中的电子直接落回价带 ( $E_V$ ) 与空穴结合。
- 结果： 释放的能量以光子 (Photon) 的形式辐射出去。这是 LED（发光二极管）和激光器的工作原理，在直接带隙半导体（如 GaAs 砷化镓）中很常见。
R-G 中心复合 (R-G Center)
- 过程： 这是一种间接复合。电子和空穴不是直接相遇，而是通过禁带中的缺陷能级 ( $E_T$ ) 作为“中介”来完成复合。电子先被 $E_T$ 捕获，然后空穴再过来结合。
- 结果： 能量通常以热能（晶格振动）的形式释放掉。
俄歇复合 (Auger)
- 过程： 这是一种涉及三个载流子的复合。一个电子与一个空穴复合，但释放的能量没有变成光或热，而是被第三个载流子（图中的是另一个导带电子）吸收。
- 结果： 这个获得能量的电子被“踢”到导带中更高的能级，然后它会通过散射（如图中阶梯所示）释放热量，再次回到导带底。这种机制在载流子浓度非常高（例如重度掺杂）时才比较显著。