Lecture 3：费米能级、载流子散射与迁移率

Dependence of $E_F$ on Net Dopant Concentration and Temperature ｜费米能级与净掺杂浓度、温度的关系

净掺杂浓度：对于 N 型，为 $N_D - N_A$ 。

Ef vs dopant concentration and temperature

For N-type:

n = N_c e^{-(E_c - E_F)/kT} \;\Rightarrow\; E_F = E_c - kT \ln\frac{N_c}{n}

非简并模型：掺得越多， $E_F$ 就越靠近你引入的杂质的那一侧带边（n 型靠 $E_c$ ，p 型靠 $E_v$ ）；温度越高， $E_F$ 又会往带隙中部"退"一些；到重掺杂时需用简并模型。

Intrinsic Fermi Level ｜本征费米能级 $E_i$

To find $E_F$ for an intrinsic semiconductor, use the fact that $n = p$ :

N_c e^{-(E_c - E_F)/kT} = N_v e^{-(E_F - E_v)/kT}

E_F = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{kT}{2} \ln\frac{N_v}{N_c} \equiv E_i

E_i = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3kT}{4} \ln\frac{m_p^*}{m_n^*} \simeq \frac{E_c + E_v}{2}

这个只要记住 $E_i = \dfrac{E_c + E_v}{2}$ 应该就 OK 了。

$n(n_i, E_i)$ and $p(n_i, E_i)$ ｜用 $n_i$ 、 $E_i$ 表示载流子浓度

In an intrinsic semiconductor, $n = p = n_i$ and $E_F = E_i$ :

n = n_i = N_c e^{-(E_c - E_i)/kT} \;\Rightarrow\; N_c = n_i e^{(E_c - E_i)/kT}

p = n_i = N_v e^{-(E_i - E_v)/kT} \;\Rightarrow\; N_v = n_i e^{(E_i - E_v)/kT}

把一般情况与本征情况相除：

\frac{n}{n_i} = \frac{N_c e^{-(E_c - E_F)/kT}}{N_c e^{-(E_c - E_i)/kT}} = e^{[(E_c - E_i) - (E_c - E_F)]/kT} = e^{(E_F - E_i)/kT}

\frac{p}{n_i} = \frac{N_v e^{-(E_F - E_v)/kT}}{N_v e^{-(E_i - E_v)/kT}} = e^{[(E_i - E_v) - (E_F - E_v)]/kT} = e^{(E_i - E_F)/kT}

即可得到：

n = n_i e^{(E_F - E_i)/kT}, \qquad p = n_i e^{(E_i - E_F)/kT}

These two are very important relations.

Summary: Important Terminology
donor: impurity atom that increases $n$ , for example Group-V elements
acceptor: impurity atom that increases $p$ , for example Group-III elements
n-type material: contains more electrons than holes
p-type material: contains more holes than electrons
majority carrier: the most abundant carrier
minority carrier: the least abundant carrier
intrinsic semiconductor: $n = p = n_i$
extrinsic semiconductor: doped semiconductor, $n \ne p \ne n_i$

Nondegenerately Doped Semiconductor ｜非简并半导体

Nondegenerately doped: not very heavily doped.

经验判据： $E_v + 3kT \le E_F \le E_c - 3kT$

Nondegenerately doped

Degenerately Doped Semiconductor ｜简并半导体

If a semiconductor is very heavily doped, the Boltzmann approximation is not valid.

Degenerately doped

Terminology:

"n+" $\rightarrow$ degenerately n-type doped, $E_F \cong E_c$
"p+" $\rightarrow$ degenerately p-type doped, $E_F \cong E_v$

Band Gap Narrowing ｜带隙变窄

If the dopant concentration is a significant fraction of the silicon atomic density, the energy-band structure is perturbed and the band gap is reduced by $\Delta E_G$ :

\Delta E_G \cong 3.5 \times 10^{-8}\, N^{1/3} \sqrt{\frac{300}{T}}

Band gap narrowing

当掺杂浓度 $N$ （施主或受主）高到接近晶体本征原子密度的一小部分时，杂质带与本征能带发生明显相互作用；同时强电荷屏蔽、交换-相关多体效应会把导带底 $E_c$ 下拉、价带顶 $E_v$ 上推，于是有效带隙变小。

掺杂越多、温度越低，收缩越强。这个公式可以抄一下，感觉看公式就可以理解了。

Dopant Ionization ｜杂质电离

不是重点，上课应该没怎么提，看一下就行。

Dopant ionization

计算过程：
先假设完全电离（非简并），求费米能级的位置：由 $n = N_d = N_c e^{-(E_c - E_F)/kT}$ 可得 $E_F = E_c - 146\,\text{meV}$ 。
对于 Silicon，施主能级一般在导带下方 $45\,\text{meV}$ ，所以有 $E_c - E_d = 45\,\text{meV}$ 。
计算 $f(E) = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{2} e^{(E_d - E_F)/kT}}$ ，和 Fermi-Dirac 分布相比多了一个 $g = 2$ 的简并度（这个上课其实没讲）。
然后算出来实际上也只有 4% 左右没电离，所以假设完全电离是合理的。
这个应该是推出一个结论：掺杂的 dopant 基本都能全电离，可以直接让 $n = N_d - N_a$ （ $N_d \gg N_a$ ）等等。

General Theory of $n$ and $p$ ｜载流子浓度的一般理论

Charge neutrality ｜电中性：

n + N_a = p + N_d

Thermal equilibrium ｜热平衡：

np = n_i^2

然后解方程：

p = \frac{N_a - N_d}{2} + \left[\left(\frac{N_a - N_d}{2}\right)^2 + n_i^2\right]^{1/2}

n = \frac{N_d - N_a}{2} + \left[\left(\frac{N_d - N_a}{2}\right)^2 + n_i^2\right]^{1/2}

Important concepts
Dopant compensation ｜补偿掺杂：同时有施主和受主。一部分施主产生的电子被受主"中和"，真正决定导电类型的是两者的差。
Net dopant concentration ｜净掺杂浓度： $N_{net} = N_d - N_a$ （if $N_d > N_a$ ）

General theory of n and p

可抄公式。

Carrier Concentration at Extremely High and Low Temperatures ｜极端温度下的载流子浓度

Carrier concentration vs temperature

就是掺杂半导体载流子浓度如何随温度变化。

The temperature is extremely high: a large number of valence band electrons are excited to the conduction band, and the effect of doping is relatively small, approximate intrinsic behavior. ｜当温度很高时，掺杂的半导体就表现为接近本征半导体未掺杂时的情况了。 $n = p = n_i = \sqrt{N_c N_v}\, e^{-E_g / 2kT}$
The temperature is extremely low: freeze out. ｜电子基本上不电离，只有少量热激发的电子进入导带， $n$ 随降温快速下降。 $n = \sqrt{\frac{N_c N_d}{2}}\, e^{-(E_c - E_d)/2kT}$

Infrared Detector Based on Freeze-out ｜基于 Freeze-out 的红外探测器

Infrared detector

In doped Si operating in the freeze-out mode, conduction electrons are created when the infrared photons provide the energy to ionize the donor atoms.

把掺杂 Si 冷到 freeze-out，让施主几乎都保持中性，此时几乎没有热生成电子；让红外光子把施主上的电子打到导带，靠这种光致电离来产生导电电子并输出信号，就能探测到 $\sim 0.1\,\text{eV}$ 的黑体辐射。了解一下即可。

Summary: Important Relations
$n = N_c e^{-(E_c - E_F)/kT}$
$n = n_i e^{(E_F - E_i)/kT}$
$p = N_v e^{-(E_F - E_v)/kT}$
$p = n_i e^{(E_i - E_F)/kT}$
$n = N_d - N_a$
$p = N_a - N_d$
$np = n_i^2$

Carrier Actions in Semiconductor ｜半导体中载流子的行为

Three primary types of carrier action occur inside a semiconductor ｜三种载流子行为：

Drift ｜漂移：charged particle (带电粒子) motion under the influence of an electric field. ｜电场作用产生漂移
Diffusion ｜扩散：particle motion due to concentration gradient or temperature gradient. ｜ 浓度梯度以及温度梯度产生扩散
Recombination–Generation ｜复合–产生

Effective Mass ｜有效质量

Effective mass

左右两边的电子运动不同：真空中就直接用牛二，但是在半导体中，由于周期性晶格势的影响，电子的质量需要等效为有效质量来看待。

Electron and Hole Effective Masses ｜电子、空穴有效质量

Electron and hole effective masses

Carrier Random Thermal Motion ｜载流子随机热运动

Carrier random thermal motion

Electrons make frequent collisions (撞击) under different scattering mechanisms (散射机制). Frequency of collision increases with increasing temperature.

电子始终以 $\sim 10^7\,\text{cm/s}$ 量级（at 300 K）做随机热运动，散射越频繁（温度越高）越"乱"；若施加外电场作用，只会产生一个很小的漂移偏置，这个偏置决定了宏观电流。

Thermal Velocity ｜热运动速度

Thermal velocity

这个速度就是单纯的电子由于热激发引起的随机运动的速度，和上面 $10^7\,\text{cm/s}$ 的量级对应一下。这个动能公式感觉也可以抄。

Carrier Scattering ｜载流子散射

Phonon Scattering ｜声子散射

Phonon scattering

Collision with vibrating lattice ｜与振动的晶格碰撞
Phonons carry quantized energy of lattice vibration ｜声子携带晶格振动的量子化能量
Increases with elevated temperature ｜温度升高，声子散射增加

温度升高，晶格振动加剧，声子散射应该会更强。

Impurity Scattering ｜杂质散射

Impurity scattering

Deflection by ionized impurity atoms ｜电离杂质原子引起的偏转
Increases with increased impurity concentration ｜杂质浓度增加，杂质散射增加
Decreases with elevated temperature ｜温度升高，杂质散射反而减小了

这个可以这么理解：因为杂质散射是电离的杂质原子引起的偏转，当温度升高，电子运动速度变快，在相同力作用下更不容易被偏转（当然不一定严谨）。

同时对于杂质散射而言，正负离子作用相同，因此散射强度与掺杂浓度之和相关。

Charge-charge Scattering ｜电荷-电荷散射

Deflection due to Coulombic force between carriers ｜电子–电子、电子–空穴之间的库仑相互作用导致偏转
Only significant at high carrier concentrations ｜只在高载流子浓度时显著，毕竟是载流子之间的散射
Decreases with elevated temperature ｜温度升高，载流子散射反而减小了

温度升高，电子（或空穴）平均速度变快，与带电中心相互作用的时间更短，同样库仑力造成的偏转角更小，因此电离杂质散射与载流子–载流子散射都会减弱。

The net current in any direction is zero if no electric field is applied.

无外电场时只有随机热运动，各向平均为零，任意方向的净电流都为 0。
要出现定向电流，必须有：
电场（漂移： $v_d = \mu E$ ）；或
浓度/温度梯度（扩散）。
散射决定的是这种定向运动能建立到多大（即迁移率、扩散系数）。

Carrier Drift ｜载流子漂移

Carrier drift

当一个电场（例如，由于外部施加的电压）施加到半导体上时，可移动的载流子将被静电力加速。这个力叠加在电子的随机运动之上。

由于散射（scattering）的存在，半导体中的电子并不会获得恒定的加速度。然而，它们可以被视为以一个恒定的平均漂移速度 $v_d$ 运动的准经典粒子。

电子在外加电场的反方向上漂移，从而形成电流。

电场与散射让随机热运动产生了有偏置的"平均流动"，这就是漂移电流。

Mobility ｜迁移率

衡量在单位电场下，载流子（电子或空穴）运动的快慢｜ It quantifies the velocity of charge carriers (electrons or holes) under a unit electric field.

Hole Mobility ｜空穴迁移率

It's the same.

Hole mobility

Summary

Mean free time: $\tau$
Mean free path: $\lambda = v_t \times \tau$

注意这里的速度是 thermal velocity。

Mobility summary

Matthiessen's Rule ｜马西森定则

该定则指出，材料的迁移率 $\mu$ 的倒数等于由各种独立散射机制（如晶格振动和杂质）所引起的迁移率的倒数之和：

\frac{1}{\mu_{\text{total}}} = \frac{1}{\mu_{\text{lattice}}} + \frac{1}{\mu_{\text{impurities}}}

Matthiessen's rule

Mechanism $i$ ：第 $i$ 种散射机制，也就是 phonon scattering、impurity scattering、charge-charge scattering 三者中的其中之一。

设第 $i$ 种散射机制的平均时间间隔为 $\tau_i$ 。在一个很小的时间片 $dt$ 内，被这种机制散射的概率 $P = \dfrac{dt}{\tau_i}$ ， $\dfrac{1}{\tau_i}$ 就是该机制的散射率（每秒发生的平均次数）。

如果散射机制之间彼此是独立的，那么 the probability that a carrier will be scattered within a time period $dt$ is $\sum_i \dfrac{dt}{\tau_i}$ ，也就是把各种散射机制 $i$ 都加到一起。

其实就是上面推导的等价：直接加起来 phonon scattering 和 impurity scattering。猜测不加 charge-charge scattering 的原因就是它本身的性质（only significant at high carrier concentrations）；还有就是 Matthiessen 只把"真正在体系外耗散动量"的散射相加，C-C 散射应该是动量在载流子之间相互传递。

Mobility vs doping

掺杂浓度 $N_a + N_d$ 升高，mobility 下降。

Mobility vs temperature

直接就是散射的应用了。回顾一下，对于 impurity scattering，温度低反而更强了，所以当重掺杂时，低温下杂质散射明显，曲线就在低温时弯下去了；轻掺杂时，主导的还是 phonon scattering，温度升高，mobility 降低。

Velocity Saturation ｜速度饱和

Velocity saturation

当载流子的动能超过一个临界值时，它会产生一个光学声子 (optical phonon) 并失去动能 (kinetic energy)。

因此，动能在较大的 $E$ 时达到上限，速度不会超过饱和速度 $v_{\text{sat}}$ 。

Velocity saturation has a deleterious (不利的) effect on device speed as in nanoscale (纳米级) transistors.

Summary ｜小结

Carrier mobility varies with doping
Decreases with increasing total concentration of ionized dopants.
Carrier mobility varies with temperature
Decreases with increasing $T$ if lattice scattering is dominant.
Decreases with decreasing $T$ if impurity scattering is dominant.

总结一下，其实就是上面一样的内容。