Lecture 6：正向偏置 PN 结与理想二极管方程

这一讲的核心是利用L4的输运方程和L5的势垒模型，推导PN结在正向偏置下的I-V特性
配合PPT食用更美味

一、Review

P1 上一节的内容，主要是正向偏置，变成了（ $V_{bi}-V_A$ ）

P2 上一节的内容，展示线性缓变结，依次积分，再积分。从电荷（一次函数）到电场（二次函数）到电势（三次函数）

二、Forward Biased PN Junction | 正向偏置

条件： $V_A<<V_{bi}$ (否则不满足Low level injection)
加入正向偏置电压，n区fermi-level被抬高，p区Fermi-level被拉低，落差变小，N区的能带相对P区抬高 $qV_A$ 。(Ec或者Ev高的是P区)
外加电场与内建电场方向相反，总势垒降低为 $V_{bi} - V_A$ 。
耗尽层宽度 $W$ 变窄。

少子注入（在准中性区完成和另一边的多数载流子的复合）

When a forward bias ( $V_A > 0$ ) is applied, the potential barrier to diffusion across the junction is reduced, Minority carriers are 'injected' into the quasi-neutral regions => $\Delta n_p > 0$ , $\Delta p_n > 0$ Minority carriers diffuse in the quasi-neutral regions, recombining with majority carriers

PN结的正向电流 = 少子注入 + 扩散 + 复合

正向电压 $\rightarrow$ 势垒降低。
势垒降低 $\rightarrow$ 允许大量多子越过边界，变成“少子注入”。
注入的少子在另一侧（准中性区）进行扩散运动。
在扩散的过程中，它们与另一侧的多子相遇并复合。正是这个“注入-扩散-复合”的连续过程，构成了二极管正向导通时的主体电流。

三、Low-level injection | 低水平注入

低电平注入是一个电流输运假设，它定义了正向偏置时载流子的状态。

假设内容： 注入到中性区的过剩少数载流子浓度（例如 $\Delta p_n$ ）远小于该区域原有的多数载流子浓度（The excess minority carrier concentration injected into the neutral region is much smaller than the original majority carrier concentration in this region.）
适用条件： 仅在正向偏置（ $V_A > 0$ ）下使用且 $V_A<<V_{bi}$ （低电平的叫法的由来）。

它被用于推导理想二极管I-V方程的每一个关键步骤：

推导：准费米能级分裂 LLI 假设中性区（多子浓度很高）的电阻小到可以忽略。因此，我们可以假设几乎所有的外加电压 $V_A$ 都降落在耗尽区上
推导：“结定律”（边界条件）LLI 假设告诉我们：尽管有少子注入，但多子浓度基本不变，即 $n_n(x_n) \approx N_D$
推导：少数载流子扩散方程 在中性区，总电流 $J$ 包含漂移和扩散。LLI 假设中性区的电场 $\mathcal{E}$ 极小（见应用点1），因此少数载流子的漂移电流 ( $q\mu_p p_n \mathcal{E}$ ) 可以忽略不计，这使得少数载流子电流 $J_p \approx -qD_p \frac{dp_n}{dx}$

概念：准中性区（quasi-neutral region）和其相关

定义：
- 耗尽层以外的、近似保持电中性的P区和N区。（The P and N regions outside the depletion layer, roughly maintaining electrical neutrality.）
特征:
- 电场 $\mathcal{E} \approx 0$ ，电压降可忽略。
- 载流子浓度处于非平衡态（ $pn \neq n_i^2$ ）。
- 多数载流子浓度 $\approx$ 掺杂浓度 ( $n_n \approx N_D$ , $p_p \approx N_A$ ) 。
- 过剩的多数载流子浓度 $\approx$ 过剩的少数载流子浓度 ( $\Delta n \approx \Delta p$ )。
关系：
- LLI是“准中性区”假设成立的前提。

四、结定律（Law of the junction）（P8-14）

假设：

LLI 假设中性区（多子浓度很高）的电阻小到可以忽略。因此，我们可以假设几乎所有的外加电压 $V_A$ 都降落在耗尽区上

费米能级分裂，产生了准费米能级（不在热平衡状态了）

过剩载流子

左边是平衡状态下的（VA=0），右边是正向偏置下的（VA>0）

正向偏压使少子浓度增大，对多子浓度影响不大

例题一则

五、连续性方程和扩散方程（P15-22)

这一节的推导难度较大，可以知道一个大概，然后抄公式

连续性方程的推导 (Page 15)

这张幻灯片的目标是建立一个描述“在任意点，载流子浓度如何随时间变化”的方程。在稳态（Steady-State）下，它描述了电流密度如何随空间变化。

核心思想：粒子数守恒

我们考察一个体积微元 $A \cdot \Delta x$ 。在稳态（Steady-State）下（即浓度不随时间变化），进入这个微元的空穴（Hole）数量必须等于离开的空穴数量，加上在这个微元内“消失”（即复合）的空穴数量。

方程建立

流入率（单位：个/秒）：进入微元的空穴电流为 $J_p(x)$ ，对应的粒子流（“个/秒”）是 $\frac{A \cdot J_p(x)}{q}$ 。
流出率（单位：个/秒）：流出微元的空穴粒子流是 $\frac{A \cdot J_p(x+\Delta x)}{q}$ 。
复合率（单位：个/秒）：单位体积内的复合率是 $\frac{\Delta p}{\tau_p}$ （过剩浓度/寿命），因此整个微元的复合率是 $A \cdot \Delta x \cdot \frac{\Delta p}{\tau_p}$ 。根据守恒定律：

流入 = 流出 + 复合

\frac{A \cdot J_p(x)}{q} = \frac{A \cdot J_p(x+\Delta x)}{q} + A \cdot \Delta x \cdot \frac{\Delta p}{\tau_p}

数学推导

我们将上述方程两边同除以 $A$ ，并移项：

\frac{J_p(x) - J_p(x+\Delta x)}{q} = \Delta x \cdot \frac{\Delta p}{\tau_p}

两边同除以 $\Delta x$ ，并乘以 $q$ ：

\frac{J_p(x) - J_p(x+\Delta x)}{\Delta x} = q \frac{\Delta p}{\tau_p}

提取负号，得到幻灯片中的第二个方程：

-\frac{J_p(x+\Delta x) - J_p(x)}{\Delta x} = q \frac{\Delta p}{\tau_p}

当 $\Delta x \to 0$ 时，左侧即是导数的定义，我们得到稳态连续性方程：

-\frac{dJ_p}{dx} = q \frac{\Delta p}{\tau_p}

物理意义

空穴电流密度随距离的负变化率（ $-\frac{dJ_p}{dx}$ ），等于该点的净复合率。也就是说，如果电流向右流动时逐渐减小，那必定是因为载流子在途中复合消失了。

少数载流子扩散方程 (Page 16)

上一页的连续性方程是普适的。现在我们将其应用于一个特定但非常重要的情况：准中性区中的少数载流子。

关键假设：低水平注入（Low-Level Injection）

在准中性区（QNR），电场 $E$ 非常小（大部分电压降在耗尽区）。少数载流子（例如N区的空穴）的电流 $J_p$ 由漂移和扩散两部分组成：

J_p = q\mu_p p E - qD_p \frac{dp}{dx}

因为 $p$ （少子浓度）和 $E$ 都很小，所以漂移项 $q\mu_p p E$ 可以忽略不计。

简化电流方程

因此，少数载流子电流几乎完全是扩散电流：

J_p \approx -qD_p \frac{dp}{dx}

又因为 $p(x) = p_{n0} + \Delta p(x)$ ，而平衡浓度 $p_{n0}$ 是一个常数，所以 $\frac{dp}{dx} = \frac{d\Delta p}{dx}$ 。

J_p = -qD_p \frac{d\Delta p}{dx}

推导扩散方程

将这个简化的 $J_p$ 代入连续性方程 $-\frac{dJ_p}{dx} = q \frac{\Delta p}{\tau_p}$ ：

-\frac{d}{dx}\left(-qD_p \frac{d\Delta p}{dx}\right) = q \frac{\Delta p}{\tau_p}

化简得到：

\frac{d^2\Delta p}{dx^2} = \frac{\Delta p}{D_p \tau_p}

定义扩散长度 (Diffusion Length)

我们定义一个具有长度量纲的常数 $L_p$ ，称为空穴扩散长度 (Diffusion Length)：

L_p \equiv \sqrt{D_p \tau_p}

物理意义： $L_p$ 是少数载流子（空穴）在复合前平均可以扩散的距离。

最终方程

将 $L_p$ 代入，我们就得到了用于描述稳态、低注入、无光照下少数载流子分布的核心方程：

N区的空穴：
$\frac{d^2\Delta p}{dx^2} = \frac{\Delta p}{L_p^2}$
P区的电子：
$\frac{d^2\Delta n}{dx^2} = \frac{\Delta n}{L_n^2}$

求解扩散方程 (Page 17)

现在我们有了方程，需要求解它来找到 $\Delta p(x)$ 的具体函数形式。这张幻灯片以N区（ $x > x_N$ ）为例进行求解。

待解问题

\frac{d^2\Delta p}{dx^2} = \frac{\Delta p}{L_p^2}

通解

这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：

\Delta p(x) = A e^{x/L_p} + B e^{-x/L_p}

边界条件 (Boundary Conditions)

为了确定常数 $A$ 和 B，我们需要两个边界条件：

远场 ( $x \to \infty$ $x \to \infty$ )：
- 我们假设这是一个“长二极管”，即准中性区的宽度远大于 $L_p$ 。在远离结的地方，所有注入的过剩载流子都复合完了，浓度恢复到平衡值。
- $\Delta p(\infty) = 0$
结的边界 ( $x = x_N$ $x = x_{N}$ )：
- 在耗尽区的N侧边界，过剩空穴浓度由结定律 (Law of the Junction) 决定（这是前一节课的核心内容）：
- $\Delta p(x_N) = p_{n0}(e^{qV/kT} - 1)$

求解

应用边界条件1：
- 当 $x \to \infty$ 时， $e^{x/L_p} \to \infty$ 。为了使 $\Delta p(\infty) = 0$ ，系数 $A$ 必须等于 $\mathbf{0}$ 。
- 方程简化为： $\Delta p(x) = B e^{-x/L_p}$
应用边界条件2：
- $\Delta p(x_N) = B e^{-x_N / L_p} = p_{n0}(e^{qV/kT} - 1)$
- 解得 B： $B = p_{n0}(e^{qV/kT} - 1) e^{x_N / L_p}$
将 B 代回，得到最终解：
- $\Delta p(x) = p_{n0}(e^{qV/kT} - 1) e^{-(x - x_N) / L_p} \quad , \text{for } x > x_N$

最终结果（省流版）

18页是最终在准中性区的载流子分布（载流子越深入中性区，随着不断复合，其生命也在倒计时，浓度慢慢变少）

例题一则

思考一下

问题的直接回答： $L_n$ 远大于典型器件尺寸

计算结果： $L_n = 85 \text{ }\mu\text{m}$ （85微米）

$L_n$ (扩散长度)的含义： 它代表在P区中，一个被注入的少数载流子（电子）在与空穴复合之前，平均可以扩散的距离。（The average distance that an injected minority carrier can diffuse before recombination.）
“典型器件尺寸”的含义： 在现代集成电路（IC）中，这个尺寸指的是晶体管的沟道长度（ $L_g$ ）或P-N结的结深（ $x_j$ ）。在当前的微电子技术中，这个尺寸在纳米 (nm) 到亚微米 (sub-µm) 量级。例如，一个90纳米技术节点的晶体管，其物理栅长（ $L_g$ ）仅约37纳米（即 $0.037 \text{ }\mu\text{m}$ ）。

结论： $L_n = 85 \text{ }\mu\text{m}$ 这个距离，比一个典型器件的尺寸（< 1 µm）要大几个数量级（100倍以上）

知识点榨干：这个对比推翻了我们刚学的模型

这个计算结果的最重要意义在于，它证明了我们在 Lecture 6（幻灯片 17-18, 26）中刚刚用来推导“理想二极管方程”的“长基区二极管”（Long-base diode）假设，在实际IC器件中是完全不成立的。

A. “长基区”模型（理论推导）

假设： 中性区的物理宽度 $W_p$ 远大于扩散长度 $L_n$ （即 $W_p \gg L_n$ ）。
边界条件： 我们假设中性区延伸到无穷远，因此过剩载流子在 $x \to \infty$ 处完全复合， $\Delta n(\infty) = 0$ 。
载流子分布： 扩散方程 $\frac{d^2\Delta n}{dx^2} = \frac{\Delta n}{L_n^2}$ 的解是指数衰减： $\Delta n(x) \propto e^{-x/L_n}$ 。
电流公式： 电流由扩散长度 $L_n$ 决定： $I_0 \propto \frac{D_n}{L_n N_A}$ 。

B. “短基区”模型（实际器件）（非重点，主要看区别）

现实 (来自本例)： 中性区的物理宽度 $W_p$ 远小于扩散长度 $L_n$ （即 $W_p \ll L_n$ ）。
物理图像： 被注入的少数载流子（电子）还没有来得及复合，就已经扩散到了P区另一端的金属接触（Ohmic Contact）处。
新的边界条件： 金属接触是一个理想的复合点（具有无限的复合速率）。因此，边界条件变为 $\Delta n(W_p) \approx 0$ （在P区末端 $W_p$ 处浓度为0）。
新的载流子分布：
- 由于 $W_p \ll L_n$ ，载流子在扩散通过 $W_p$ 的短暂时间内几乎不发生复合。
- 扩散方程 $\frac{d^2\Delta n}{dx^2} = \frac{\Delta n}{L_n^2}$ 中的复合项 $\frac{\Delta n}{L_n^2}$ 几乎为零。
- 方程简化为 $\frac{d^2\Delta n}{dx^2} \approx 0$ 。
- 这个方程的解是一个线性分布，不再是指数衰减。
新的电流公式：
- 扩散电流 $J_n \approx q D_n \frac{d\Delta n}{dx} \approx q D_n \frac{\Delta n(-x_p) - 0}{W_p}$ 。
- 电流现在由物理宽度 $W_p$ 决定，而不是扩散长度 $L_n$ 。
- 反向饱和电流变为： $I_0 = A q n_i^2 \left( \frac{D_p}{W_N} + \frac{D_n}{W_P} \right)$ 。

六、理想晶体管I-V方程（P23-27）

在理想二极管中，正向电流由注入到准中性区的少数载流子扩散并复合所驱动。电流大小随外加电压呈指数增长。

理想二极管假设 (Page 24)

推导逻辑 (Page 25-26)

根据假设4，耗尽区内 $\frac{dJ_n}{dx}=0$ 且 $\frac{dJ_p}{dx}=0$ 。这意味着 $J_n$ 和 $J_p$ 各自恒定地穿过耗尽区。

因此，总电流 $J$ (在整个器件中都恒定 )，等于耗尽区边界处的少数载流子扩散电流之和：

J = J_n(\text{at } x=-x_p) + J_p(\text{at } x=x_n)

我们来计算这两个分量：

计算 $J_p(x_n)$ 计算 $J_n(-x_p)$

J_p(x_n) = -qD_p \frac{d\Delta p}{dx}|_{x=x_n}

= -qD_p \cdot [p_{n0}(e^{qV/kT}-1)] \cdot (-\frac{1}{L_p}) e^{-(x_n-x_N)/L_p}

= q \frac{D_p}{L_p} p_{n0} (e^{qV/kT}-1)

Lecture 6：正向偏置 PN 结与理想二极管方程

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