承接上一章的MOS管特性，这一章增加了更多延申（PPT的2-3页与前一章联系更大，放入前一章）
整份PPT的思路较为混乱，有点颠三倒四。
产生条件： 宏观上：V G S < V T H V_{GS}<V_{TH} V GS < V T H 微观上：ϕ B < ϕ S < 2 ϕ B \phi_B <\phi_S < 2\phi_B ϕ B < ϕ S < 2 ϕ B V S V_S V S
表面电势（Surface Potential，通常用 ϕ s \phi_s ϕ s 或 V S V_S V S 表示） 是理解 MOSFET 工作原理的核心变量。简单来说，它是指半导体表面相对于其体区（Bulk）深处的静电势差 。
产生原因： Consider ϕ S \phi_S ϕ S 2 ϕ B 2\phi_B 2 ϕ B V S V_S V S 2 ϕ B 2\phi_B 2 ϕ B 回顾定义 ：我们定义 ϕ S = 2 ϕ B \phi_S = 2\phi_B ϕ S = 2 ϕ B 强反型 （Strong Inversion）的起始点，也就是阈值电压 V T V_T V T
实际情况 ：当栅极电压 V G V_G V G V T V_T V T V S V_S V S 2 ψ B 2\psi_B 2 ψ B
能量分布（Boltzmann Statistics） ：电子在能带中的分布遵循玻尔兹曼统计。即使能带还没有弯曲到足以形成“导电沟道”的程度，源端（Source）依然有一些高能电子能够越过势垒扩散 到漏端（Drain）。
电流主要靠扩散（Diffusion） 机制流动，而不是强反型区的漂移（Drift）机制，类似BJT原理。（在后面推公式用到） 不加证明的给出亚阈值时电压电流关系：
I D S = μ e f f C o x e W L ( m − 1 ) ( k T q ) 2 e q ( V G S − V T ) m k T ( 1 − e − q V D S k T ) I_{DS} = \mu_{eff} C_{oxe} \frac{W}{L} (m-1) \left(\frac{kT}{q}\right)^2 e^{\frac{q(V_{GS} - V_T)}{mkT}} (1 - e^{-\frac{qV_{DS}}{kT}}) I D S = μ e f f C o x e L W ( m − 1 ) ( q k T ) 2 e mk T q ( V GS − V T ) ( 1 − e − k T q V D S ) 其中m和下面推导的η \eta η
η \eta η 亚阈值斜率因子 (Subthreshold Slope Factor)
它是衡量栅极电压对表面电势控制效率的一个无量纲参数。
η = 1 + C d e p C o x e \eta = 1 + \frac{C_{dep}}{C_{oxe}} η = 1 + C o x e C d e p C d e p C_{dep} C d e p C o x e C_{oxe} C o x e
m和 η \eta η 在物理本质和数学定义上，它们几乎完全是同一个东西 A. 强反型区 (Strong Inversion) → \rightarrow → 叫 m m m 场景： 当 V G S > V T V_{GS} > V_T V GS > V T 作用： 修正电流公式B. 亚阈值区 (Subthreshold / Weak Inversion) → \rightarrow → 叫 η \eta η 场景： 当 V G S < V T V_{GS} < V_T V GS < V T 作用： 描述开关的“陡峭程度”。
C o x C_{ox} C o x (栅氧化层电容): 栅极和半导体表面之间的电容。C d e p C_{dep} C d e p 或 C d m C_{dm} C d m (耗尽层电容): 半导体表面和衬底（地）之间的电容。
【了解即可】
实际推导极其复杂，主要是通过扩散定理开始推导，可以看这个
PPT上主要论证了I d s ∝ e q V g s η k T I_{ds} \propto e^{\frac{qV_{gs}}{\eta kT}} I d s ∝ e η k T q V g s
需要指出的是，PPT上的I d s ∝ n s I_{ds} \propto n_s I d s ∝ n s J d i f f = q D n d n d x J_{diff} = q D_n \frac{dn}{dx} J d i f f = q D n d x d n n s ∝ e q φ s / k T n_s \propto e^{q\varphi_s/kT} n s ∝ e q φ s / k T I d s ∝ n s I_{ds} \propto n_s I d s ∝ n s
【了解即可】
根据【lec9】最后一页，我们可以知道，在ϕ B < ϕ S < 2 ϕ B \phi_B <\phi_S < 2\phi_B ϕ B < ϕ S < 2 ϕ B V g V_g V g 串联电容网络 上
V g V_g V g φ s \varphi_s φ s C d e p C_{dep} C d e p
d φ s d V g = C o x e C o x e + C d e p = 1 η \frac{d\varphi_s}{dV_g} = \frac{C_{oxe}}{C_{oxe} + C_{dep}} = \frac{1}{\eta} d V g d φ s = C o x e + C d e p C o x e = η 1 （每增加一部分的Vg就会给 C d e p C_{dep} C d e p
如果假设η \eta η V g V_g V g
φ s = c o n s t a n t + V g / η \varphi_s = constant + V_g/\eta φ s = co n s t an t + V g / η 最后根据玻尔兹曼统计分布n s ∝ e q φ s / k T n_s \propto e^{q\varphi_s/kT} n s ∝ e q φ s / k T
I d s ∝ n s ∝ e q φ s / k T ∝ e q ( c o n s t a n t + V g s / η ) / k T ∝ e q V g s / η k T I_{ds} \propto n_s \propto e^{q\varphi_s/kT} \propto e^{q(constant + V_{gs}/\eta)/kT} \propto e^{qV_{gs}/\eta kT} I d s ∝ n s ∝ e q φ s / k T ∝ e q ( co n s t an t + V g s / η ) / k T ∝ e q V g s / η k T 关于阈值电压的判定：
通常将 V t V_t V t 定义为：当 I d s = 100 ⋅ W L n A I_{ds} = 100\cdot \frac{W}{L} nA I d s = 100 ⋅ L W n A 时的 V g s = V t V_{gs} = V_t V g s = V t
因此我们可以获得I d s I_{ds} I d s
I d s = I 0 ⋅ W L e q ( V g s − V t h ) η k T = 100 ⋅ W L e q ( V g s − V t h ) η k T n A I_{ds} = I_0 \cdot \frac{W}{L} e^{\frac{q(V_{gs} - V_{th})}{\eta kT}} = 100 \cdot \frac{W}{L} e^{\frac{q(V_{gs} - V_{th})}{\eta kT}} n A I d s = I 0 ⋅ L W e η k T q ( V g s − V t h ) = 100 ⋅ L W e η k T q ( V g s − V t h ) n A
为了衡量器件关断的速度，提出了亚阈值斜率/摆幅的概念
S ≡ ( d ( log 10 I D S ) d V G S ) − 1 S \equiv \left( \frac{d(\log_{10} I_{DS})}{dV_{GS}} \right)^{-1} S ≡ ( d V GS d ( log 10 I D S ) ) − 1 S S S 越小越好 ： S S S 曲线越陡峭 ，开关切换越干脆，只需很小的电压摆幅就能把电流从“开”变到“关”。
将上面简化版的漏电流公式(I 0 = 100 n A I_0 = 100nA I 0 = 100 n A
S = k T q ln ( 10 ) ⏟ ≈ 60 mV × ( 1 + C d m C o x e ) ⏟ η (非理想因子) S = \underbrace{\frac{kT}{q}\ln(10)}_{\approx 60 \text{mV}} \times \underbrace{\left(1 + \frac{C_{dm}}{C_{oxe}}\right)}_{\eta \text{ (非理想因子)}} S = ≈ 60 mV q k T ln ( 10 ) × η ( 非理想因子 ) ( 1 + C o x e C d m )
Boltzmann Limit | 玻尔兹曼极限
Subthreshold slope cannot exceed 60mV/dec at room temperature (“Boltzmann Limit”) | 亚阈值斜率在室温下不会超过60mV/dec （因为η > 1 \eta>1 η > 1
Leakage suppression is necessary by designing steeper subthreshold slope | 通过设计更陡的亚阈值斜率（减小S）来抑制泄漏是必要的（同样的电压改变就可以使漏电流减小更多）
把S = k T q ln ( 10 ) × η S = {\frac{kT}{q}\ln(10)} \times \eta S = q k T ln ( 10 ) × η
I s u b t h r e s h o l d (nA) ≈ 100 × W L × e q ( V g − V t ) η k T = 100 × W L × 10 ( V g − V t ) S I_{subthreshold} \text{ (nA)} \approx 100 \times \frac{W}{L} \times e^{\frac{q(V_g - V_t)}{\eta kT}} = 100 \times \frac{W}{L} \times 10^{\frac{(V_g - V_t)}{S}} I s u b t h r es h o l d (nA) ≈ 100 × L W × e η k T q ( V g − V t ) = 100 × L W × 1 0 S ( V g − V t )
再将V G = 0 V_G=0 V G = 0
I o f f ( n A ) = 100 × W L × 10 − V t / S I_{off} (nA) = 100 \times \frac{W}{L} \times 10^{-V_t / S} I o f f ( n A ) = 100 × L W × 1 0 − V t / S 核心结论 ：I o f f I_{off} I o f f 仅由 V t V_t V t 和 S S S 决定 。
设计权衡 | The Trade-off ：这个公式揭示了低功耗设计的永恒矛盾，想要更小的漏电流 I o f f I_{off} I o f f
方法一：提高 V t V_t V t I o n I_{on} I o n 方法二：减小 S S S S S S 图示解析 ：左下的图形象地展示了这一点。S S S S S S V t V_t V t V t V_t V t V g s = 0 V_{gs}=0 V g s = 0 I o f f I_{off} I o f f S = k T q ln ( 10 ) ⏟ ≈ 60 mV × ( 1 + C d m C o x e ) ⏟ m (非理想因子) S = \underbrace{\frac{kT}{q}\ln(10)}_{\approx 60 \text{mV}} \times \underbrace{\left(1 + \frac{C_{dm}}{C_{oxe}}\right)}_{m \text{ (非理想因子)}} S = ≈ 60 mV q k T ln ( 10 ) × m ( 非理想因子 ) ( 1 + C o x e C d m ) 要让 S → 60 mV S \to 60\text{mV} S → 60 mV C d e p C o x e → 0 \frac{C_{dep}}{C_{oxe}} \to 0 C o x e C d e p → 0 C o x e C_{oxe} C o x e C d e p C_{dep} C d e p
三大优化手段 (Strategies) A. 增大氧化层电容 C o x e C_{oxe} C o x e T o x T_{ox} T o x 方法 ：把栅极氧化层做得更薄（Thinner T o x T_{ox} T o x 物理逻辑 ：平板电容公式 C o x = ϵ o x T o x C_{ox} = \frac{\epsilon_{ox}}{T_{ox}} C o x = T o x ϵ o x T o x T_{ox} T o x C o x C_{ox} C o x B. 减小耗尽层电容 C d e p C_{dep} C d e p 方法 ：降低衬底掺杂浓度（Lower substrate doping）。物理逻辑 ：耗尽层电容 C d e p ∝ N s u b C_{dep} \propto \sqrt{N_{sub}} C d e p ∝ N s u b N s u b N_{sub} N s u b W d e p W_{dep} W d e p C d e p C_{dep} C d e p V t V_t V t C. 降低温度 (Lower Temperature) 方法 ：低温工作。物理逻辑 ：直接修改物理常数 k T / q kT/q k T / q S S S 工程限制与代价 (Limitations & Trade-offs) 限制一：氧化层不能无限薄 (Oxide Breakdown & Leakage) 问题 ：当 T o x T_{ox} T o x 可靠性 (Reliability) ：氧化层太薄容易被击穿（Breakdown），芯片寿命缩短。栅极漏电 (Oxide Leakage) ：量子隧穿效应（Tunneling）占主导，电子直接穿过绝缘层，导致巨大的栅极漏电流。限制二：掺杂浓度不能随意动 (Doping set by V t V_t V t 问题 ：PPT 指出 "Doping is not a free parameter but set by V t V_t V t 逻辑 ：我们需要一定的掺杂浓度来把阈值电压 V t V_t V t S S S V t V_t V t 短沟道效应（穿通 Punch-through） 。
此前我们假设硅（Si）和氧化层（SiO2）的接触面是完美的，但现实中那里充满了“坑洼”。
界面态（Interface States）
PPT 中的能带图在硅-氧化层界面处画了一些短横线。这些代表界面缺陷（Interface States） ，通常源于硅表面的“悬挂键”（Dangling Bonds）或晶格失配。它们在原本禁带（Bandgap）中引入了额外的能级。
当施加栅压 V g V_g V g ϕ s \phi_s ϕ s d Q i n t / d ϕ s dQ_{int}/d\phi_s d Q in t / d ϕ s 电容 （通常记为 C i t C_{it} C i t
这个界面态电容 C i t C_{it} C i t C d e p C_{dep} C d e p 并联 的，因为它们都连接在表面电势节点和地（衬底）之间。得出下式。
S = 60 mV ⋅ ( 1 + C d e p + d Q i n t / d ϕ s C o x e ) S = 60\text{mV} \cdot \left( 1 + \frac{C_{dep} + \mathbf{dQ_{int}/d\phi_s}}{C_{oxe}} \right) S = 60 mV ⋅ ( 1 + C o x e C d e p + d Q int /d ϕ s ) 结论：界面态越多，S 值越大，开关性能越差。
注意下面都是讨论的饱和区
f m a x f_{max} f ma x f max f_{\text{max}} f max 不再能放大输入信号 时的频率
Obtained by considering the small-signal model with the output terminals short-circuited, and finding the frequency where ∣ i out / i in ∣ = 1 |i_{\text{out}} / i_{\text{in}}| = 1 ∣ i out / i in ∣ = 1 ∣ i out / i in ∣ = 1 |i_{\text{out}} / i_{\text{in}}| = 1 ∣ i out / i in ∣ = 1
f max = g m 2 π C oxe = W μ eff 2 π m L ( V G S − V T ) ∝ 1 L f_{\text{max}} = \frac{g_m}{2\pi C_{\text{oxe}}} = \frac{W\mu_{\text{eff}}}{2\pi mL}(V_{GS} - V_T) \propto \frac{1}{L} f max = 2 π C oxe g m = 2 π m L W μ eff ( V GS − V T ) ∝ L 1
Increased MOSFET operating frequencies are achieved by decreasing the channel length | 提高 MOSFET 的工作频率是通过减小沟道长度 (L L L
缩放的主要驱动力：速度 (Speed) 和密度 (Density)
L减小，r d s r_{ds} r d s C O X C_{OX} C O X r d s r_{ds} r d s I D S I_{DS} I D S 尺寸微缩，密度提高 举了一个反相器的例子
分析了传播延迟 (Propagation delay τ d \tau_d τ d
τ d ≡ 1 2 ( pull-down delay + pull-up delay ) \tau_d \equiv \frac{1}{2}(\text{pull-down delay} + \text{pull-up delay}) τ d ≡ 2 1 ( pull-down delay + pull-up delay ) pull-up delay ≈ C V d d 2 I d s a t P \text{pull-up delay} \approx \frac{CV_{dd}}{2I_{dsatP}} pull-up delay ≈ 2 I d s a tP C V dd pull-down delay ≈ C V d d 2 I d s a t N \text{pull-down delay} \approx \frac{CV_{dd}}{2I_{dsatN}} pull-down delay ≈ 2 I d s a tN C V dd τ d = C V d d 4 ( 1 I d s a t N + 1 I d s a t P ) \tau_d = \frac{CV_{dd}}{4} (\frac{1}{I_{dsatN}} + \frac{1}{I_{dsatP}}) τ d = 4 C V dd ( I d s a tN 1 + I d s a tP 1 ) 结论：通过增加饱和电流 I D s a t I_{Dsat} I D s a t 可以降低延迟 τ d \tau_d τ d
旧观念 (Long Channel)：
在之前的公式中，我们假设电子漂移速度 v v v E \mathcal{E} E v = μ E v = \mu \mathcal{E} v = μ E 意味着：电压 V d s V_{ds} V d s 新现实 (Short Channel)：
当沟道很短（L L L E = V d s / L \mathcal{E} = V_{ds}/L E = V d s / L v = μ E 1 + E E s a t v = \frac{\mu \mathcal{E}}{1 + \frac{\mathcal{E}}{\mathcal{E}_{sat}}} v = 1 + E s a t E μ E
E s a t ≡ 2 v s a t / μ \mathcal{E}_{sat} \equiv 2 v_{sat} / \mu E s a t ≡ 2 v s a t / μ
当电场很小时 (E ≪ E s a t \mathcal{E} \ll \mathcal{E}_{sat} E ≪ E s a t v = μ E v = \mu \mathcal{E} v = μ E
此时速度与电场强度成线性关系。
当电场很大时 (E ≫ E s a t \mathcal{E} \gg \mathcal{E}_{sat} E ≫ E s a t v = μ E s a t v = \mu \mathcal{E}_{sat} v = μ E s a t 此时速度达到饱和，不再随电场增加而增大。 velocity saturation has large and deleterious effect on the I D s a t I_{Dsat} I D s a t I D s a t I_{Dsat} I D s a t
理想情况 (没有速度饱和)：
I D s a t ∝ ( V G S − V T ) 2 I_{Dsat} \propto (V_{GS} - V_T)^2 I D s a t ∝ ( V GS − V T ) 2 我们依靠这个“平方律”来获得巨大的电流增益。
实际情况 (发生速度饱和)：
电流定义是 I = W ⋅ Q ⋅ v I = W \cdot Q \cdot v I = W ⋅ Q ⋅ v 当 v v v v s a t v_{sat} v s a t
I D s a t ≈ W ⋅ C o x ( V G S − V T ) ⋅ v s a t I_{Dsat} \approx W \cdot C_{ox}(V_{GS} - V_T) \cdot v_{sat} I D s a t ≈ W ⋅ C o x ( V GS − V T ) ⋅ v s a t 结果： 电流从随电压的平方增长，退化成了线性增长。
在线性区
I D S = W L C o x e μ e f f ( V G S − V T − m 2 V D S ) V D S I_{DS} = \frac{W}{L} C_{oxe} \mu_{eff} (V_{GS} - V_T - \frac{m}{2}V_{DS}) V_{DS} I D S = L W C o x e μ e f f ( V GS − V T − 2 m V D S ) V D S I D S = W L C o x e μ e f f ( V G S − V T − m 2 V D S ) V D S 1 + V D S E s a t L I_{DS} = \frac{\frac{W}{L} C_{oxe} \mu_{eff} (V_{GS} - V_T - \frac{m}{2}V_{DS}) V_{DS}}{1 + \frac{V_{DS}}{\mathcal{E}_{sat} L}} I D S = 1 + E s a t L V D S L W C o x e μ e f f ( V GS − V T − 2 m V D S ) V D S 主要增加了分母衰减因子1 + V D S E s a t L 1 + \frac{V_{DS}}{\mathcal{E}_{sat} L} 1 + E s a t L V D S
这里，V D S L \frac{V_{DS}}{L} L V D S E s a t {\mathcal{E}_{sat}} E s a t I D S I_{DS} I D S
在速度饱和发生后，MOSFET V D S V_{DS} V D S
数学上的饱和点 通过令 d I D S d V D S = 0 \frac{dI_{DS}}{dV_{DS}} = 0 d V D S d I D S = 0 V D S V_{DS} V D S V D s a t V_{Dsat} V D s a t
V D s a t = 2 ( V G S − V T ) 1 + 1 + 2 ( V G S − V T ) / E s a t L V_{Dsat} = \frac{2(V_{GS} - V_T)}{1 + \sqrt{1 + 2(V_{GS} - V_T) / \mathcal{E}_{sat} L}} V D s a t = 1 + 1 + 2 ( V GS − V T ) / E s a t L 2 ( V GS − V T ) 更简洁且精确的近似模型 1 V D s a t = m V G S − V T + 1 E s a t L \frac{1}{V_{Dsat}} = \frac{m}{V_{GS} - V_T} + \frac{1}{\mathcal{E}_{sat} L} V D s a t 1 = V GS − V T m + E s a t L 1
参数解释
m = 1 + 3 T o x e / W d m m = 1 + 3 T_{oxe}/W_{dm} m = 1 + 3 T o x e / W d m E s a t ≡ 2 v s a t / μ \mathcal{E}_{sat} \equiv 2 v_{sat} / \mu E s a t ≡ 2 v s a t / μ v s a t v_{sat} v s a t 饱和速度 (Saturation Velocity) 。（注意系数 2） 模型解释
项 A： V G S − V T m \frac{V_{GS} - V_T}{m} m V GS − V T 项 B： E s a t L \mathcal{E}_{sat} L E s a t L 物理含义：
V D s a t V_{Dsat} V D s a t 漏极饱和电压 ( V D s a t V_{Dsat} V D s a t ) 近似公式 的进一步引申
If E sat L ≫ V G S − V T n \mathcal{E}_{\text{sat}}L \gg V_{GS} - V_{Tn} E sat L ≫ V GS − V T n E sat L ≫ V G S − V T n \mathcal{E}_{\text{sat}}L \gg V_{GS}-V_{Tn} E sat L ≫ V GS − V T n 长沟道 ”器件
器件是表现出“长沟道特性”还是“短沟道特性”，不仅仅取决于物理长度 L L L V G S V_{GS} V GS
专家解读： 这个不等式的物理含义是：电子把速度跑到饱和所需的电压（E s a t L \mathcal{E}_{sat} L E s a t L V G S − V T n V_{GS}-V_{Tn} V GS − V T n V D S V_{DS} V D S 先夹断 ，而不是先速度饱和。一旦夹断发生，电流就饱和了。因此，速度饱和效应还没来得及发生，器件就已经饱和了。
E sat L ≫ V G S − V T n \mathcal{E}_{\text{sat}}L \gg V_{GS} - V_{Tn} E sat L ≫ V GS − V T n
L L L （沟道长度）较大 V G S V_{GS} V GS 接近 V T V_T V T 例题一则
在速度饱和效应下，MOSFET 的饱和电流（I D s a t I_{Dsat} I D s a t
通用公式：长沟道与短沟道的桥梁（PPT中直接给的） I D s a t = W 2 m L C o x e μ e f f ( V G S − V T ) 2 1 + V G S − V T E s a t L = l o n g − c h a n n e l I D s a t 1 + V G S − V T E s a t L I_{Dsat} = \frac{W}{2mL} C_{oxe}\mu_{eff} \frac{(V_{GS} - V_T)^2}{1 + \frac{V_{GS} - V_T}{\mathcal{E}_{sat} L}} = \frac{long-channel\ I_{Dsat}}{1 + \frac{V_{GS} - V_T}{\mathcal{E}_{sat} L}} I D s a t = 2 m L W C o x e μ e f f 1 + E s a t L V GS − V T ( V GS − V T ) 2 = 1 + E s a t L V GS − V T l o n g − c hann e l I D s a t 
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