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title: 力学
date: 2024-09-08 16:57:51
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前言

从高中的时候就一直想总结一下，但苦于没有时间。

现在有时间了，顺便用用markdown，总结一下脑子里的物理知识有哪些(～￣▽￣)～

顺便稍稍复习一下下学期即将开课的大物I

二编：寒假的时候略无聊，心血来潮想写写的笔记，幻想着能复习一下大物I，可惜这学期太忙了根本没听课（误）。（放在这里做下测试吧）下学期大物II提前上完了，不过还有固体物理，后面应该会更新笔记的
                       ————————哎，为数不多的物理课了…(心向物理bushi)

力学

一、运动的描述（运动学）：

Describe objects：

1.位置：位置矢量r

2.速度：速度矢量v= drdt\frac{d\pmb{r}}{dt}

3.加速度：a= dvdt\frac{d\pmb{v}}{dt}

（一）对于同一参考系下不同“视角”的描述

坐标系​下的描述

1.任意曲线坐标系：u,v,w

对于其坐标下物体的小位移，对应r矢量小位移drd\pmb{r}，有

dr=∂r∂udu+∂r∂vdv+∂r∂wdwd\pmb{r}=\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial u}du+\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial v}dv+\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial w}dw

实例：

1.直角坐标系：

dr=∂r∂xdx+∂r∂ydy+∂r∂zdzd\pmb{r}=\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial x}dx+\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial y}dy+\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial z}dz

其中由几何运算：

∂r∂x\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial x}即为沿x轴方向单位矢量x^\pmb{\hat{x}}

∂r∂y\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial y}即为沿y轴方向单位矢量y^\pmb{\hat{y}}​

∂r∂z\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial z}即为沿z轴方向单位矢量z^\pmb{\hat{z}}​

亦即dr=x^dx+y^dy+z^d\text{亦即}d\pmb{r}=\pmb{\hat{x}}dx+\pmb{\hat{y}}dy+\pmb{\hat{z}}d

速度

v=drdt=dxdtx^+dydty^+dzdtz^\pmb{v}=\dfrac{d\pmb{r}}{dt}=\frac{dx}{dt}\pmb{\hat{x}}+\frac{dy}{dt}\pmb{\hat{y}}+\frac{dz}{dt}\pmb{\hat{z}}

=x˙x^+y˙y^+z˙z^=\dot{x}\pmb{\hat{x}}+\dot{y}\pmb{\hat{y}}+\dot{z}\pmb{\hat{z}}

加速度

a=dvdt=x¨x^+y¨y^+z¨z^\pmb{a}=\frac{d\pmb{v}}{dt}=\ddot{x}\pmb{\hat{x}}+\ddot{y}\pmb{\hat{y}}+\ddot{z}\pmb{\hat{z}}

PS:(由于直角坐标的单位正交基不是 位置or时间 的函数，在其坐标下的导数就 等于 对应分量导数的矢量和)

2.柱坐标系：

dr=∂r∂ρdρ+∂r∂θdθ+∂r∂zdzd\pmb{r}=\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial \rho}d\rho+\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial \theta}d\theta+\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial z}dz

其中由几何运算：

∂r∂ρ\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial \rho}为沿ρ\rho方向单位矢量ρ^\hat{\pmb{\rho}}

∂r∂θ\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial \theta}为ρθ^\rho\hat{\pmb{\theta}},其中θ^\hat{\pmb{\theta}}为沿θ\pmb{\theta}方向(切向)单位矢量

∂r∂z\dfrac{\partial \pmb{r}}{\partial z}即为沿z轴方向单位矢量x^\pmb{\hat{x}}​

亦即dr=dρρ^+ρdθθ^+dzz^亦即d\pmb{r}=d\rho\hat{\pmb{\rho}}+\rho d\theta\hat{\pmb{\theta}}+dz\pmb{\hat{z}}

速度

v=drdt=ρ˙ρ^+ρθ˙θ^+z˙z^\pmb{v}=\frac{d\pmb{r}}{dt}=\dot{\rho}\pmb{\hat{\rho}}+\rho\dot{\theta}\pmb{\hat{\theta}}+\dot{z}\pmb{\hat{z}}

加速度

a=dvdt=ρ¨ρ^+ρ˙dρ^dt+ρ˙θ˙θ^+ρ˙θ¨θ^+ρθ˙dθ^dt+z¨z^\pmb{a}=\frac{d\pmb{v}}{dt}=\ddot{\rho}\pmb{\hat{\rho}}+\dot{\rho}\frac{d\pmb{\hat{\rho}}}{dt}+\dot{\rho}\dot{\theta}\pmb{\hat{\theta}}+\dot{\rho}\ddot{\theta}\pmb{\hat{\theta}}+\rho\dot{\theta}\frac{d\pmb{\hat{\theta}}}{dt}+\ddot{z}\pmb{\hat{z}}

其中dρ^dt和dθ^dt\frac{d\pmb{\hat{\rho}}}{dt}和\frac{d\pmb{\hat{\theta}}}{dt}怎么处理⟶\longrightarrow利用全微分处理，dρ^和dθ^d\pmb{\hat{\rho}}和d\pmb{\hat{\theta}}对坐标的全微分是可以获得的：

dρ^=∂ρ^∂ρdρ+∂ρ^∂θdθ=0+dθ⋅θ^dθ^=∂θ^∂ρdρ+∂θ^∂θdθ=dρ⋅(−ρ^)=−dρ⋅ρ^d\pmb{\hat{\rho}}=\frac{\partial\pmb{\hat{\rho}}}{\partial\rho}d\rho+\frac{\partial\pmb{\hat{\rho}}}{\partial\theta}d\theta \\ =0+d\theta\cdot\pmb{\hat{\theta}} \\ d\pmb{\hat{\theta}}=\frac{\partial\pmb{\hat{\theta}}}{\partial\rho}d\rho+\frac{\partial\pmb{\hat{\theta}}}{\partial\theta}d\theta \\ =d\rho\cdot(-\pmb{\hat{\rho}})=-d\rho\cdot\pmb{\hat{\rho}}

因此

dρ^dt=θ˙θ^dθ^dt=−ρ˙ρ^\frac{d\pmb{\hat{\rho}}}{dt}=\dot{\theta}\pmb{\hat{\theta}}\quad\frac{d\pmb{\hat{\theta}}}{dt}=-\dot{\rho}\pmb{\hat{\rho}}

a=dvdt=(ρ¨−ρθ˙2)ρ^+(2ρ˙θ˙+ρθ¨)θ^+z¨z^\pmb{a}=\frac{d\pmb{v}}{dt}=(\ddot{\rho}-{\rho}\dot{\theta}^2)\pmb{\hat{\rho}}+(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\pmb{\hat{\theta}}+\ddot{z}\pmb{\hat{z}}

3.球坐标系，推导方式类似，这里直接给出结果

a=balabala...(手动狗头bushi)\pmb{a}=balabala...(手动狗头bushi)

4.平面极坐标（直接由柱坐标系退化即可）

a=dvdt=(ρ¨−ρθ˙2)ρ^+(2ρ˙θ˙+ρθ¨)θ^\pmb{a}=\frac{d\pmb{v}}{dt}=(\ddot{\rho}-{\rho}\dot{\theta}^2)\pmb{\hat{\rho}}+(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\pmb{\hat{\theta}}

2.自然坐标系

自然坐标系的运动的描述：

⟶\longrightarrow把运动分解为直线运动和圆周运动

其本质是对于速度矢量的大小和方向进行度量

curve.jpg

这里其实用到了一个思想⟶\longrightarrow将时间项  \,\,dt  \,\,利用其他不显含时间的量  \,\,ω\pmb{\omega}  \,\,​来进行表示

​ 这与有心力场中轨道微分方程 Binet公式的思想相同

沿运动方向：切向加速度

垂直运动方向：向心加速度

合并在一个式子里即a=v2ρr^+s¨τ^合并在一个式子里即\pmb{a}=\frac{v^2}{\rho}\pmb{\hat{r}}+\ddot{s}\pmb{\hat{\tau}}

   \,\,\,另外的应用——软绳坐标（在约束中再提）

（二）对于不同参照系下同一“视角下的描述”

参考系

相对于任意参考系，空间是非均匀且各向异性的，即某个物体与其他物体没有相互作用，它在空间中的不同位置和不同指向在力学意义上是不等价的.同样，一般情况下任意参考系中的时间也是非均匀的，即不同时刻也是不等价的.显然，时间和空间的这些性质使力学现象的描述变得复杂.

然而，似乎总是存在某种参考系，空间相对它是均匀的、各向同性的，时间相对于它是均匀的——这样的参考系称为惯性参考系。

————上述两段摘自Landau力学

伽利略变换

对于两个惯性参考系之间的变换，

r′=r+ut\pmb{r'}=\pmb{r}+\pmb{u}t

t′=tt'=t

​两个式子即代表了两个惯性参照系的坐标与时间关系，后者为经典力学中的绝对时间假设

对上式进行求导，得到了两个坐标系的速度变换公式

v′=v+u\pmb{v'}=\pmb{v}+\pmb{u}

伽利略相对性原理也可以表述为：力学运动方程在伽利略变换下具有不变性（形式不变）

在不同坐标系下描述物体的运动

1.两个互作平动的参照系之间的变换

互作平动，但是未必相对运动是匀速运动r′=r+ut\pmb{r'}=\pmb{r}+\pmb{u}t​ ✘

下面给出变换公式及其推导

r′=r+ρ\pmb{r'}=\pmb{r}+\pmb{\rho}

dρdt≜u,drdt≜v,dr′dt≜v′,dudt≜A\frac{d\pmb{\rho}}{dt}\triangleq \pmb{u},\frac{d\pmb{r}}{dt}\triangleq \pmb{v},\frac{d\pmb{r'}}{dt}\triangleq \pmb{v'},\frac{d\pmb{u}}{dt}\triangleq \pmb{A}

s.t.     v′=v+us.t.\,\,\,\,\,\pmb{v'}=\pmb{v}+\pmb{u}

a′=a+A\pmb{a'}=\pmb{a}+\pmb{A}

其中物理量含义不做过多解释；

2.两个互作转动的参照系之间的变换

pFMRldg.md.jpg

在参考系(S)内，如果R\pmb{R}矢量绕某个轴以角速度ω\pmb{\omega}转动(注意方向是沿轴向上不是逆时针)，

则对R\pmb{R}矢量求导满足（记以角速度ω\omega转动的参考系为S’）

(dRdt)S=(dRdt)S′+ω×R(\frac{d\pmb{R}}{dt})_S=(\frac{d\pmb{R}}{dt})_{S'}+\pmb{\omega}\times\pmb{R}

其中(dRdt)S′实际为R矢量在S’系中不旋转，只伸长or缩小其中(\frac{d\pmb{R}}{dt})_{S'}实际为\pmb{R}矢量在S’系中不旋转，只伸长or缩小

应用上述结论，则有速度变换

(drdt)S=(drdt)S′+ω×r(\frac{d\pmb{r}}{dt})_S=(\frac{d\pmb{r}}{dt})_{S'}+\pmb{\omega}\times\pmb{r}

即v′=v+ω×r即\pmb{v'}=\pmb{v}+\pmb{\omega}\times\pmb{r}

再求导

(dv′dt)S=(d(v+ω×r)dt)S=(dvdt)S+(d(ω×r)dt)S(\frac{d\pmb{v'}}{dt})_S=(\frac{d(\pmb{v}+\pmb{\omega}\times\pmb{r})}{dt})_S=(\frac{d\pmb{v}}{dt})_S+(\frac{d(\pmb{\omega}\times\pmb{r})}{dt})_S

=(dvdt)S+(dωdt)S×r+ω×(drdt)S=(\frac{d\pmb{v}}{dt})_S+(\frac{d\pmb{\omega}}{dt})_S\times\pmb{r}+\pmb{\omega}\times(\frac{d\pmb{r}}{dt})_S

=(dvdt)S+β×r+ω×(drdt)S=(\frac{d\pmb{v}}{dt})_S+\pmb{\beta}\times\pmb{r}+\pmb{\omega}\times(\frac{d\pmb{r}}{dt})_S

而我们又知道(drdt)S=v′=v+ω×r    and    (dvdt)S=(drdt)S′+ω×v而我们又知道(\frac{d\pmb{r}}{dt})_S=\pmb{v'}=\pmb{v}+\pmb{\omega}\times\pmb{r}\,\,\,\,and\,\,\,\,(\frac{d\pmb{v}}{dt})_S=(\frac{d\pmb{r}}{dt})_{S'}+\pmb{\omega}\times\pmb{v}

s.t.(dv′dt)S==(dvdt)S+β×r+ω×(v+ω×r)s.t. (\frac{d\pmb{v'}}{dt})_S==(\frac{d\pmb{v}}{dt})_S+\pmb{\beta}\times\pmb{r}+\pmb{\omega}\times(\pmb{v}+\pmb{\omega}\times\pmb{r})

=(drdt)S′+ω×v+β×r+ω×(v+ω×r)=(\frac{d\pmb{r}}{dt})_{S'}+\pmb{\omega}\times\pmb{v}+\pmb{\beta}\times\pmb{r}+\pmb{\omega}\times(\pmb{v}+\pmb{\omega}\times\pmb{r})

=(drdt)S′+2ω×v+β×r+ω×(ω×r)=(\frac{d\pmb{r}}{dt})_{S'}+2\pmb{\omega}\times\pmb{v}+\pmb{\beta}\times\pmb{r}+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\pmb{r})

(dv′dt)S≜a′    (dvdt)S′≜a′(\frac{d\pmb{v'}}{dt})_S\triangleq \pmb{a'}\,\,\,\,(\frac{d\pmb{v}}{dt})_{S'}\triangleq \pmb{a'}

s.t.a′=a+2ω×v+β×r+ω×(ω×r)s.t.\pmb{a'}=\pmb{a}+2\pmb{\omega}\times\pmb{v}+\pmb{\beta}\times\pmb{r}+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\pmb{r})

此即两个互作转动的参照系之间的加速度变换（累死了(´〜｀*) ）

前情提要：

上面对于运动的描述都是对于单个物体（质点）而言，对于质点系而言，当然可以对每个质点单独进行描述，但是对于质点之间，存在着一定的约束，下面我们讨论有约束关系我们能获得什么：

（三）约束

理想约束/非理想约束，这个等到后面分析力学再详细展开（或者再这里再补充）

这里仅举常用的一些例子，但是会从更数学的角度去处理约束关系，和从物理的角度对比一下，更好的理解运动关联的那些事

eg1:杆模型

pF1nFKO.md.jpg

杆模型这里只关注两个端点的约束关系，杆长为ll,选取一个原点为OO,则此时描述两个质点的运动由r1 r2\pmb{r_1\,r_2}来决定

那这两个质点（两个端点）有什么约束关系——很简单，∣r1−r2∣=l|{\pmb{r_1}-\pmb{r_2}}| = l

但是操作起来不是那么方便，于是上式改写为(r1−r2)2=l2(\pmb{r_1}-\pmb{r_2})^2=l^2

这样写有什么好处——可以求导了！式子两边对时间求导

d(r1−r2)2dt=ddt{(r1−r2)⋅(r1−r2)}\frac{d(\pmb{r_1}-\pmb{r_2})^2}{dt}=\frac{d}{dt}\lbrace (\pmb{r_1}-\pmb{r_2})\cdot(\pmb{r_1}-\pmb{r_2})\rbrace

=(r1−r2)⋅(v1−v2)+(v1−v2)⋅(r1−r2)=(\pmb{r_1}-\pmb{r_2})\cdot(\pmb{v_1}-\pmb{v_2})+(\pmb{v_1}-\pmb{v_2})\cdot(\pmb{r_1}-\pmb{r_2})

=2(r1−r2)⋅(v1−v2)=2(\pmb{r_1}-\pmb{r_2})\cdot(\pmb{v_1}-\pmb{v_2})

=d(l2)dt=0=\frac{d(l^2)}{dt}=0

由此我们获得了一个信息——(r1−r2)⋅(v1−v2)=0(\pmb{r_1}-\pmb{r_2})\cdot(\pmb{v_1}-\pmb{v_2})=\pmb{0}

这句话代表了什么⟶r1−r2记为l\longrightarrow\pmb{r_1}-\pmb{r_2}记为\pmb{l}​

上式化为l⋅v1=l⋅v2\pmb{l}\cdot\pmb{v_1}=\pmb{l}\cdot\pmb{v_2}

pF1n1sS.md.jpg

再图里面看是不是就很明显，l⋅v1=l⋅v2\pmb{l}\cdot\pmb{v_1}=\pmb{l}\cdot\pmb{v_2}意思就是沿杆的方向速度相等（图片中两个速度显然不符合实际情况）

————显然是废话{bushi}

从这里面其实我们就能更加深刻的理解，平时我们所说的沿杆的方向速度相等的更深层次的原理，而不是一些物理直觉（当然直觉也是有理有据的）

我们再看r1−r2=l\pmb{r_1}-\pmb{r_2}=\pmb{l}这个式子，在平面中，l\pmb{l}往往是以平动加转动的方式在“运动”，那么我们尝试对l\pmb{l}进行求导，

显然，这和上面旋转坐标系那里提及的求导方式是一致的，

dldt=对长度的求导+对方向的求导\frac{d\pmb{l}}{dt}=对长度的求导+对方向的求导

=0+ω×l=\pmb{0}+\pmb{\omega}\times\pmb{l}

=ω×l=\pmb{\omega}\times\pmb{l}

也就是说对r1−r2=l两边求导，会得到——也就是说对\pmb{r_1}-\pmb{r_2}=\pmb{l}两边求导，会得到——

v1−v2=ω×l\pmb{v_1}-\pmb{v_2}=\pmb{\omega}\times\pmb{l}

这个式子我们再看，它有用了起来

v1−v2=ω×l\pmb{v_1}-\pmb{v_2}=\pmb{\omega}\times\pmb{l} 其实就是以一个端点为参考系，另一个端点必然是绕原来的端点（在系中静止的）圆周运动

再求导可以得到

a1−a2=d(ω×l)dt=β×l+ω×dldt=β×l+ω×(ω×l)\pmb{a_1}-\pmb{a_2}=\frac{d(\pmb{\omega}\times\pmb{l})}{dt}\\ =\pmb{\beta}\times\pmb{l}+\pmb{\omega}\times\frac{d\pmb{l}}{dt}\\ =\pmb{\beta}\times\pmb{l}+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\pmb{l})

即，由一个简单的杆约束方程，我们得到了如下信息

l⋅v1=l⋅v2\pmb{l}\cdot\pmb{v_1}=\pmb{l}\cdot\pmb{v_2}

v1−v2=ω×l\pmb{v_1}-\pmb{v_2}=\pmb{\omega}\times\pmb{l}

a1−a2=β×l+ω×(ω×l)\pmb{a_1}-\pmb{a_2}= \pmb{\beta}\times\pmb{l}+\pmb{\omega}\times(\pmb{\omega}\times\pmb{l})

eg2:软绳模型——既然前面的情形很常见，那么接下来讨论一个稍微不常见的软绳模型